优化方案数学_优化方案数学2024电子版

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       大家好，我是小编，今天我来给大家讲解一下关于优化方案数学的问题。为了让大家更容易理解，我将这个问题进行了归纳整理，现在就一起来看看吧。

1.最优化选择法数学原理

2.高中数学课堂如何落实新课改理念提升教学质量

3.优化组合什么意思

4.如何利用信息技术优化数学学科重难点教学

最优化选择法数学原理

       2.2.1 目标函数

       设观测异常以ΔZk表示，k为观测点序号，k=1，2，…，m，m为观测点数。

       设所选用的地质体模型的理论异常以 Z 表示，Z 是模型体参量和观测点坐标的函数，即

       Z=f（xk，yk，zk，b1，b2，…，bn）

       式中：xk，yk，zk为观测点的坐标；b1，b2，…，bn为模型体的参量，如空间位置、产状、物性等，参量的个数为n。

       模型体的初始参量用 ， ， ，…， 表示。

       理论曲线与实测曲线之间的符合程度，是以各测点上理论异常与实测异常之差的平方和（即偏差平方和）来衡量的，用φ表示，即

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       目的在于求得一组关于模型体参量的修改量δ1，δ2，…，δn，来修改模型体给定的初值参量，即

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       于是求出关于模型体参量的一组新值，而由这组新参量形成的模型体的理论异常与实测异常之间的偏差平方和将取极小，即是

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       代入式（2.2.1）中将使φ值获得极小，这时bi即为我们的解释结果，这称为最小二乘意义下的最优化选择法。

       我们称φ为目标函数，用它来衡量理论曲线与实测曲线的符合程度。最优化方法的关键在于求取使φ值获得极小参量的改正值δi，而f通常是bi的非线性函数，因而该问题归结为非线性函数极小的问题。

       2.2.2 求非线性函数极小的迭代过程

       从上已知f为bi的非线性函数，那么要求它与实测值之间的偏差平方和φ为极小的问题就称为非线性极小问题，或称为非线性参数的估计问题。如果是线性问题，参数估计比较简单，通常进行一次计算即可求出参数的真值，而对非线性问题，参数估计却要复杂得多，为了求解，通常将函数在参数初值邻域内展成线性（忽略高次项），即所谓的线性化，然后再求得改正量δi（i=1，2，…，n），由于这是一种近似方法，因而不可能使φ一次达到极小，而需要一个迭代过程，通过反复计算而逐步逼近函数φ的极小值。

       图2.1 不同埋深时的重力异常

       为了说明这个求极小的迭代过程，可以举一个单参量的例子，即假如我们要确定引起重力异常Δgk的场源地质体的深度，假设场源为一个已知体积和密度的球体模型，如图2.1所示，那么φ就是球心埋深z的函数，如果球心埋深的真值为h，我们首先取初值为z（0），这时函数

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       式中：Δgk为实测异常；g（z）是球心埋深为z的理论重力异常；φ随z的变化情况示于图2.2 中，要求使φ获极小的z，即要求使

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       的根。由于z（0）和φ（z（0））不能一次求出φ的极小来，通常采用迭代的办法，如图2.3所示，例如用牛顿切线法迭代求根，根据下式

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       得到一个更近似于根的值z（1），但不等于h，因此需进一步再用上式，将z（1）作为新的初值z（0），可得到新的z（1）更接近于h，如此反复下去可以使z值无限接近于h，当满足精度要求时，我们认为它近似等于h了，停止迭代，这时的z（1）就作为h值。

       图2.2 函数φ（z）随z变化示意图

       图2.3 用牛顿切线法求φ′（z）=0的根示意图

       2.2.3 单参量非线性函数的极小问题

       单参量不仅是讨论多参量的基础，而且往往在求多参量极小时要直接用到单参量极小的方法，因此有必要作一介绍。

       求单参量极小的方法很多，上面用到的牛顿切线法就是其中之一，在此我们介绍一种用得较多的函数拟合法，以及精度较高的DSC-Powell方法。

       2.2.3.1 函数拟合法

       2.2.3.1.1 二次函数拟合法

       A.不计算导数的情况

       设取三个参量值x1、x2、x3，它们对应的φ 值就应为φ1、φ2、φ3，过三个点（x1，φ1；x2，φ2；x3，φ3）作二次抛物线，应有下式

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       联立φ1、φ2、φ3的方程式，即可得出系数A、B、C来。

       当A＞0时，应有极小点存在，我们设极小点为d，那么根据极小的必要条件有

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       将A、B的表达式代入即得

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       当x1、x2、x3为等距的三点时，上式可简化为

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       B.计算导数的情况

       设已知两个点的参量值x1和x2对应的函数值φ1、φ2，并已求得x1点的一阶导数值φ′（x1），可用下列方法求极小点d：

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       联立φ1、φ2、φ′（x1）三个方程即可得A、B、C，代入极小点的表达式即可求得极小点。

       为了简化起见，不妨设x1为坐标原点（即x1=0），设x2=1，于是上面各式简化成：

       φ′（x1）=B

       φ1=C

       φ2=A+B+C

       A=φ2-φ′（x1）-φ1

       则

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       2.2.3.1.2 三次函数拟合法

       取两个点的参量值x1和x2，及相应的φ1和φ2值，并已得到该两点的一阶导数值φ′（x1）和φ′（x2），我们选用一个三次多项式

       φ=Ax3+Bx2+Cx+D

       代入上面给出的4个条件，同样，为了简化起见，不妨设x1为坐标原点（即x1=0），设x2=1，则有

       φ1=D

       φ2=A+B+C+D

       φ′（x1）=C

       φ′（x2）=3A+2B+C

       联立求解，可定出4个系数A、B、C、D，按照求极小的必要条件

       φ′=3Ax2+2Bx+C=0

       当二阶导数

       φ″=6Ax+2B＞0

       时有极小存在，极小点d就为

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       为了计算方便，令

       v=φ′（x1）

       u=φ′（x2）

       S=-3（φ1-φ2）=3（A+B+C）

       Z=s-u-v=B+C

       W2=Z2-vu=B2-3AC

       于是极小点d就可用下列形式表示：

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       2.2.3.2 DSC-Powell 法

       该法为比较细致的单参量探测法，精度比较高，计算工作量较大，大致可分为两部分来完成，其探测（迭代）过程如图2.4所示。

       2.2.3.2.1 确定极小值所在的区间

       采用的是一种直接探测法，做法可归纳如下。

       第一步：给定探测方向x、初值点x0和初始步长Δx，计算φ（x0）和φ（x0+Δx），若φ（x0+Δx）≤φ（x0），转向第二步；若φ（x0+Δx）＞φ（x0），则取-Δx为步长Δx，转向第二步。

       第二步：计算xk+1=xk+Δx，计算φ（xk+1）。

       第三步：如果φ（xk+1）≤φ（xk），以2Δx为新步长代替Δx，且用k代表k+1，转向第二步。

       如果φ（xk+1）＞φ（xk），则以xm表示xk+1，以xm-1表示xk，将上步的xk作为xm-2，并计算

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       第四步：在4个等距点（xm-2、xm-1、xm+1、xm）中，去掉四点中离φ（x）最小点最远的那一点，即或是xm，或是xm-2，剩下的三点按顺序以xα、xb、xc表示，其中xb为中点，那么（xα，xc）区间即为极小值所在的区间。

       2.2.3.2.2 用二次函数拟合法求极小点

       将上面已确定的等距的 xα、xb、xc三点及 φ 值，用二次函数拟合法即用公式（2.2.3）求得极小点，令为x*点。再将xα、xb、xc、x*四点中舍去φ值最大的点，剩下的点重新令为α、b、c，则又得三点和它们相应的φ值，用公式（2.2.2）求其极小点x*，如此反复使用公式（2.2.2），逐步缩小极小值的区间，一直到两次求得的极小点位置差小于事先给定的精度为止，x*点即为极小点。

       图2.4 DSC-Powell法示意图

       2.2.4 广义最小二乘法（Gauss 法）

       重磁反问题中的最优化方法，一般是指多参量的非线性最优估计问题，理论模型异常z=f（ ，b1，b2，…，bn）是参数bi（i=1，2，3，…，n）的非线性函数，其中 =（x，y，z）为测点的坐标。由前已知ΔZk（k=1，2，…，m）表示在第k个观测点 上的实测异常，现在要寻求与观测异常相对应的理论模型的参量值bi（i=1，2，…，n），使理论异常与实测异常的偏差平方和

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       为极小。

       设bi的初值为 ，则上述问题，即是要求修正量δi，使

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       代入φ中，使φ获得极小。

       高斯提出了首先将f函数线性化的近似迭代方法，即将f在 处按台劳级数展开取其线性项。

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       式中 ，

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       当 和 给出后， 和 均可直接计算出来。将台劳展开式代入式（2.2.6）中，目标函数φ为

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       要求 使φ取得极小，根据极小的必要条件

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       将上式化为

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       写成方程组形式

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       式中： ， （i，j=1，2，…，n）

       再写成矩阵形式，有

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       即

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       其中

       A=PTP

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       式中：P称为雅可比（Jacobi）矩阵，是理论模型函数对参量的一阶导数矩阵。A为正定对称矩阵，实际计算时，当实测异常值已给出，模型体的初值 已选定后，A和 即可计算出，求解方程（2.2.7）即可求出 ，从而可得 。

       上面推导出的方程（2.2.7）是将f线性化所得，因而只有当f为真正的线性函数时， 才是真正的极小点 ，即一步到达极小；当f为非线性函数时，台劳式线性化仅为近似式，近似程序视 的大小而定，当|δi|较大时，二次以上项忽略的误差就大，反之就小，所以对于非线性函数 不能简单地作为极小点 ，一般将 作为新的初值 再重复上述做法，再解方程（2.2.7）又得到新的 ，反复迭代下去，直到满足精度要求为止（例如|δi|小到允许误差）。

       在高斯法应用中常常出现一种困难，即迭代过程不稳定，当 过大时，台劳展开的高次项太大而不能忽略时，就可能发生这样的情况，即用方程（2.2.7）求得的解，得到的参量 所对应的φ值大于 所对应的φ值，那么它将不能稳定地收敛于φ的极小值，即是出现了发散的情况，一般说来当f非线性程度越明显时，越易出现发散的情况。

       因此高斯法的一种改进形式如下，即不直接把 作为校正值，而将它作为校正方向，记为 ，而在该方向上用单变量求极小的方法寻找在这个方向上的极小点，即寻找一个α，使目标函数φ（ ）为极小，取 作为新的初值，再继续迭代（0＜α＜1）。

       把这个改进的方法称为广义最小二乘法，它使迭代过程的稳定性有所改善，即使这样当初值取得不好时，也有可能出现不收敛。

       2.2.5 最速下降法

       从前述已知，我们的目的是要求目标函数的极小，高斯法是利用将f函数线性化，建立一个正规方程（2.2.7）来求取修正量的，最速下降法是另一类型方法，它直接寻找φ函数的下降方向来求取修正量，所以它又称为直接法，而高斯法又称为间接法。

       从目标函数φ出发来寻找其下降方向

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       始终是大于或等于0，因此它一定有极小存在，我们首先考虑初值点 的一个邻域内，将φ在 处台劳展开取至线性项，有

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       希望寻找使Φ下降的方向，即要找新点 ，使φ（ ）＜φ（ ）

       即要求φ（ ）-φ（ ）＞0，

       且越大越好，那么可得

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       式中 表示φ函数对 的各分量的导数所组成的向量，即梯度向量。

       要使上式取极大，有

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       上式说明了φ值下降最快的方向 ，应该是与梯度方向 相反的方向，即负梯度方向，那么修正量就应在负梯度方向上来求取。下面讨论从 出发，沿负梯度方向上求取极小点的方法，除了用前面介绍过的方法外，在此再介绍一种近似计算方法。

       要求从 出发，沿- 方向的极小点，即要求λ使φ 为- 方向上极小点。根据极小必要条件，有

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       如果φ为二次函数时，λ可以直接解出，在重磁反问题中φ为非二次函数，且函数形式较复杂，一般无法直接解出λ，而采用近似法，先将φ（ ）台劳展开，取至线性项，即

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       假设粗略认为φ的极小值为零，则极小点的λ应有

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       这个方法计算简单，但误差较大，特别是 远离真正极小点 时，φ值较大，上式的假设不适合，当接近真极小点 附近时，可以采用。但在重磁反问题中，由于实测值Zk中含有干扰成分，所以即使到了 附近，φ值仍不会为零，因而上述计算λ的方法不能直接采用，可将上述计算的λ作为一个区间估计值，再用其他方法计算［0，λ］之间真正的λ值。

       从上所述可将最速下降法叙述如下：从初值 出发，沿着φ（ ）的负梯度方向- （ ）寻找极小点 ，然后又从 出发，沿着φ（ ）的负梯度方向- （ ）寻找极小点 ，一直迭代下去，直到找到 为止。

       由于这个方法是沿着初值点的最快下降方向，在该方向上如果采用单方向求极小的方法得到该方向上的极小点，那么又称“最优”、“最速”下降法。但需要指出的是，所谓“最速”是就初值点的邻域而言，所谓“最优”是指在初值点的负梯度方向上，所以它的着眼点是就局部而言，就初值点邻域而言，而对整体往往是既非“最优”，又非“最速”，而是一条曲折的弯路，难怪有人称它为“瞎子下山法”，如图2.5所示，当φ的等值面为拉长的椭球时更是如此。但它有一个十分可贵的优点，即在迭代的每一步都保证φ值下降，所以它是稳定收敛的，在φ函数复杂时，计算工作量较大些，对于大型计算机比较适用。

       图2.5 最速下降法迭代过程示意图

       图2.6 修正量的方向

       2.2.6 阻尼最小二乘法（Marguardt）

       比较上述两种方法可知，Gauss法修正量的步长大，当φ近于二次函数，可以很快收敛，但当φ为非二次函数，初值又给得不好时，常常引起发散。而最速下降法却能保证稳定的收敛，但修正量的步长小，计算工作量大。当φ的等值面为拉长的椭球时，Gauss法的修正量 和最速下降法的修正量 之间的夹角γ可达80°～90°，如图2.6所示。

       对于φ为二次函数的情况下，高斯法的修正量 方向是指向φ的极小点，而最速下降法修正量 的方向是垂直于通过 点的φ函数等值面的切平面。因而当φ为比较复杂的函数时，有可能使 出现发散而失败。

       阻尼最小二乘法是在Gauss法和最速下降法之间取某种插值，它力图能以最大步长前进，同时又能紧靠负梯度方向，这样既能保证收敛又能加快速度。它的基本思想是：在迭代过程的每一步，最好尽量使用Gauss法修正量方向 ，以使修正步长尽可能地增大，如当这种情况下不能收敛时，再逐步改用接近最速下降的方向 ，同时缩小步长，以保证收敛，下面以 表示由阻尼最小二乘法得出的修正量。

       实现上述思想只要将方程

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       改变为

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       就能实现了。式中 为我们所要求的修正量，即称Marguardt修正向量，I为单位矩阵，λ是用来控制修正方向和步长的任意正数，又称阻尼因子，它起到阻止发散的作用，方程（2.2.9）中 显然是λ的函数，即

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       通过这一改变后，即原来的正规方程（2.2.7）系数矩阵的主对角线上加一正数，从而使条件数得到了改善。如果原来A是奇异的，而A+λI可成为正定的，设原来A的最大特征值和最小特征值为μmax和μmin，则条件数就发生了如下变化：

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       使病态条件数改善，对于计算来说，是十分有利的。

       从方程（2.2.7）可看出，右端项为

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       而φ的负梯度向量 的第i个分量

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       所以 ，即方程（2.2.7）、（2.2.9）的右端项 的方向即为负梯度方向，值为负梯度值的一半。

       在方程（2.2.9）中，当λ=0时，即是（2.2.7）方程，这时 就是 ；当λ→∞时，δ0→ ，而 是负梯度方向，这时 就是最速下降方向，所以阻尼最小二乘法的修正量 ，是最速下降修正量 和Gauss法修正量 之间的某种插值，λ就是这种插值的权系数。

       Marguardt向量 具有以下三个特性：

       （1）当λ越来越大时， 的长度越来越小，且

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       ‖ ‖表示 向量的范数，也即是它的长度。

       （2）当λ由零逐渐增大时， 的方向逐渐由Gauss法的方向 转向最速下降法方向 ，λ越大， 方向越接近 方向。

       （3）对λ＞0的任意正数， （满足方程（2.2.9））使φ在半径为‖ ‖的球面上取得极小。

       图2.7Δ0（λ）随λ的变化情况示意图

       以上三个性质说明，当λ逐渐增大时， 的方向由 向 靠近，它的大小‖ ‖逐渐减小，λ→∞时，‖ ‖→0，如图2.7所示。因此在迭代的任何一步，我们总可以找到充分大的λ，来保证稳定的收敛，因为当φ 不下降时，就加大λ向 靠，一直到使φ下降为止，从而保证收敛。性质（3）说明在跨出同样的步长时，以 （λ）方向最好，这就保证了该法的优越性。在实际计算时，总是在保证收敛的前提下，取较小的λ，以获得较大的步长前进。

       下面介绍阻尼最小二乘法的迭代步骤，即实际计算过程。

       （1）给出模型体参量初值 ，计算φ（ ）；给出实测场值ΔZk（k=1，2，…，m）；给出阻尼因子的初值λ（0）及改变λ的比例系数v。

       （2）开始迭代，λ=λ（0）/v

       （3）计算A，（A+λI）及右端项 在初值点 的值，得方程（2.2.9），（A+λI） 的系数矩阵及右端项。

       （4）求解方程（2.2.9）得 。

       （5）计算 及φ（ ）。

       （6）比较φ（ ）和φ（ ）。

       若φ（ ）＜φ（ ），则该次迭代成功。判断 是否满足精度要求，若满足停止迭代，这时的 即为极小点 ；若不满足精度要求，则将 作为新 ，φ（ ）作为新φ（ ），减小λ作为新的λ（0），转向第（2）步，继续迭代下去。

       若φ（ ）＞φ（ ），则该次迭代失败，增大阻尼因子λ，将λ·v作为新的λ，转向第（4）步，即重新求解（A+λI） 方程，重新得到新的 。

       该方法中阻尼因子λ的选择十分重要，上述选法是一种简单可行的方法，还有很多不同的选择方法，可参阅有关的书籍。

高中数学课堂如何落实新课改理念提升教学质量

       　一、明确数学教学目的，不断改进教学方法

       数学教学目的，就是规定了数学教学应当完成的知识传授、能力培养、思想、个性品质等方面的教育任务，是根据我国教育的性质、任务和课程目标，并结合数学科学的特点和中学生的年龄特征而制定的。特别是现行初中数学的教学目的，就明确提出了要“运用所学知识解决题”，“在解决实际问题过程中要让学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”，“形成用数学的意识”。

       作为数学教师，必须对教学目的有明确的认识，并紧紧围绕教学目的展开教学。因为它是考核学生成绩和检查、评估教师教育教学质量的重要标准。因此，我们必须全面、深刻地掌握数学教学目的，并在教学过程中，经常以此来检查和评价自己的教学水平和教学效果，从而不断改进数学教学方法。

       二、切实抓好课堂教学，进一步提高教学效果

       课堂教学过程是师生相互交流的互动过程。师生均以一种积极的心态进入教学过程，是学生主动参与学习并取得教学效果的前提。

       注意学生学习兴趣的培养，激发学生学习热情。学习兴趣是学生学习主动性的体现，也是学生学习活动的动力源泉。古往今来，很多教育家都非常重视对学生学习兴趣的培养、引导和利用。孔子曰：“知之者，不如好之者”，说明“好学”对教育的重要性。作为教师要做到以“趣”引路，以“情”导航。

       在教学活动中，教师的讲授和学生的学习总是或多或少地带有一些感情色彩，即教育情感性。任何学生对教师的第一节课都会产生期待心情，这种期待主要表现为：①对教师外表形象的期待；②对教师言谈举止的期待；③对教师课堂教学的期待。在教学实践中，我们发现有许多学生对于自己喜爱的教师、感兴趣的教学内容、引人入胜的教学方法等都会表现出极大的投入，其学习思维就会与教师的教学保持着和谐、完美的统一。

       学生通过这种方式学会了运用知识解决问题，并从中体验到成功的乐趣，从而产生了进一步学习的愿望。作为教师就应该认真研究学生的这种心理倾向，并通过这种途径培养学生的求知欲望，引导学生形成良好的意识倾向，要充分相信每一位学生的潜能，鼓舞每一位学生主动参与学习。

       三、教师要不断更新教学理念，优化教学方法

       首先，教师要不断更新教育教学理念，适应新课程改革的发展步伐。伴随着新课程改革的发展，它对高中数学教学提出了更高的要求。因此，数学教师在教学的过程中要不断发展和完善学习的意识，深入研究教育教学的最新标准，熟悉最新的教学要求和教学重点，提高自己的教育教学质量。

       其次，教师要进一步优化自己的教学方法。数学是一门逻辑性很强的学科，这就要求老师能够采取更加系统的教学方法，提高教学质量。数学的逻辑性非常强，概念、公式以及定理成为了数学知识的基本元素，这几个部分相互协调、相互转换。在这种情况下，数学教师应该重新整理各种知识结构、技巧，完善高中教学的重点内容整合；在知识结构整理方面，要把横向和纵向知识结合起来，从而达到教学内容的系统化和逻辑化。例如，在给学生讲授配方法的过程中，要教给学生它不仅能够解决二次函数的求极值问题，同时也可以解决因式分解和证明韦达定理，这样就能够做到教学内容的系统化，提高数学教学的质量。

       四、转变学习观念，提高学生的学习积极性和发散思维能力

       首先，要积极转变学习观念。著名教学学家苏霍姆林斯基有句名言：“希望你要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，这种做法不好”。这就话就是告诉我们，学生在课堂学习中要转变教育观念，摒弃以往的“以老师为中心”的学习方法，让自己成为学习的主人。学生要积极主动地探索数学教材中的奥秘，提高数学素养和悟性。

       其次，提高学习数学的积极性。“兴趣是最好的老师”，有好的学习兴趣就能够有好的学习动机。为了激发学生学习的积极性，就必须改变传统的教学模式，把课本知识与实际生活结合起来。我们可以引入多媒体技术，将多媒体技术同数学教学结合起来，用多媒体给学生展示数学公式的模型结构，做到声像并举，激发学生的学习欲望，提高学习的积极性。

       再次，强化学生的发散思维能力。发散思维指的是大脑在思考问题时呈现出的一种扩展状态的思维方式，发散思维对高中数学教学质量的提高有着重要的作用。在数学教学中，要多注意学生思维中的合理因素，积极鼓励学生发散思考，提出不同的解决问题的方法。老师要通过启发诱导、实际演示等手段对学生进行引导，从而强化学生的发散思维能力。在一个数学问题的解答过程中，可以有多种解决方案。比如说：求一个函数si—na—cosa-2的最大值和最小值时，可以利用三角函数、分式函数以及解析几何等多种方法进行解答，给予从不同角度出发解决问题的同学肯定，从而提高了他们发散思考问题的积极性，培养学生的发散思维能力。

       五、要处理好课堂中师生之间的关系，提高课堂效率

       随着新课程改革的深入，新课改提出要进一步赋予学生更多的主动性、实践性，从而更好得把课堂知识和实际生活联系起来，提高学生处理实际问题的能力。因此，高中数学课堂教学活动应该正确处理好师生之间的主次关系，坚持合理的课堂设计理念，保持学生在课堂学习中的主动性，老师起到一种引导和辅助作用，留给学生足够的个人思考空间。比如在“函数奇偶性”的教学中，老师应该让学生在过程中体验领会函数性质的过程，引导学生运用已经学过的函数研究方法去探索对特殊函数的理解，从而促使学生在原有的认知基础上得到快速的提高。这样一来，就能够使学生获得更大的求知欲，从而促进高中数学教学质量的提高。

       高中数学是基础教育的主要内容，在教学过程中有着重要的作用。提高高中数学的教学质量不仅能够提升高中生的综合素质，同时也能够更好地适应素质教育的发展步伐，促进我国教育的快速、健康发展。

优化组合什么意思

       要想优化数学教学，首先就要数学教师转变以往的滞后观念，能在教学中与时俱进，采用多媒体等科学技术来辅助教学，并且在教学中能启发学生的学习心智，让学生掌握一定的数学学习方法和解题策略。

       一、转变教学观念，革新教育思想

       新形势下，要想实现优质高效的高中数学教学，提高教学的效率，作为人民教师必须努力的研究和落实新课改和素质教育中的相关理念，并付出一定的实践。传统的高中数学教学多数都是教师的教，老师是课堂的主人，也就是说老师讲什么学生就必须听什么，而学生完全被忽略掉了，课堂上一味的接受老师的灌输。而新形势下，教育教学应该更加的突出了学生的地位，师生关系得到了一定的缓和，师生之间的地位有原来的不对等发展为今天的平等尊重。目前，教育教学的目标更加明确，为了实现既定的三维教学目标，数学教师在教学的过程中必须依据学情，认真的研究教材和教法，创设既定的教学情境，让学生积极思考，自主探究，学会合作学习和自主学习。学生的学习不再是被动的接受而是主动的理解和应用，这些种种的变化，数学教师一定要给与关注和调整，如此才能促进学生的全面发展和综合素质的提升。

       二、教学内容系统化

       教学既是一种工作，也是一个学习的过程。教师在教学过程中不断学习改善，才会提高教学质量。数学的逻辑性很强，概念、法则、公式、定理是组成数学知识的主要元素，三者之间在某种条件下也可以相互转化。根据这种情况，重整理各种知识结构、方法、技巧是高中数学教学的重点内容。在知识结构整理方面，需要进行双方面的整理工作，纵向知识和横向知识都应该整理到位，从而将教学内容融汇贯通。

       例如，反证法、配方法、待定系数法，等等。需要强调的一点是，如果进行配方法的教学，在举例的过程中需要说明它除了可以解决二次函数求极值问题，对于因式分解、根式化筒、韦达定理也是能够进行解决的。

       三、数学知识“应用化”

       数学知识本身就是比较抽象的学科，而且知识点比较难懂。目前，高中数学的教学方式多数还是依靠学生的听讲、记忆、做题目来学习知识，这些方式已经有些落后于现代教学，对于培养创新型人才已经是满足不了的了。笔者认为，高中数学教师在教学中要积极培养学生自主探索、动手实践、合作交流的学习能力，以提高学生的实践能力为目的开展教学。通过培养数学的实践能力来提高学习效率和教学质量。

       例如，对于“分期付款中的有关计算”这一课题的研究，教师不但需要安排学生参加社会实践弄清银行的有关知识外，还应该让学生弄清三种付款方式的计算情况，再进行分组展开交流，是每个人得出的结论都能与实际的结果相符合。讨论可以从这些具体的方面进行，（1）只采用方案2，算出每期的付款额，总共的付款额，与一次性付款进行对比分析，将得到的结果填入表格并针对这一问题开展研究；（2）采用方案1和方案3时，每期付款额，总共付款额，与一次性付款进行对比分析，将结果填入表格，总结出其中的特点与解决方法。

       四、授之以渔，教给学生学习方法

       学生课前预习，课堂上尝试探索、自学等是学生课堂高效率学习的重要手段，但是在学生大量的自主性学习面前，学生学习方法是否科学就突显出来，因为学生掌握了科学的学习方法，进而养成良好的学习习惯，一则对于学生终身学习与发展有好处，二则良好的学习方法和学习习惯会促进当下学生的学习，会进一步促进课堂教学的高效率。教师要对学生作以下要求，使其养成良好的学习习惯：

       课前预习习惯：预习不止是把书本看看，还要思考一些基本的问题：是什么？为什么？这样行吗？跟以前的知识有什么联系？等等。这样，听课就有的放矢，会抓重点，攻难点，课堂自然就有效了。

       课堂学习习惯：上课要做到“声声入耳、字字入目、动手动脑、用心学习”。要端座在凳子上，起立时要站直；听课时目视老师，重点内容课本上有的要勾画，没有的要记在课本的空白处或笔记本上；老师板书时要目视黑板；老师提出问题时积极思考，敢于发表自己的见解，不明白的问题要及时问老师；书写时要认真，书写解答过程要规范，要独立完成老师布置的作业；讨论问题时要主动参与，积极发言。要集中精力紧紧围绕老师的讲课思路用心学习。

       对学生的练习应及时反馈：心理学研究表明让学生及时的了解自己学习的结果，会产生相当大的激励作用。反馈可用来提高具有动机价值的将来的行为。因为学生知道自己的进度、成绩以及在实践中应用知识的成效等，会激起进一步学好的愿望。同时，通过反馈的作用又可及时看到自己的缺点和错误，及时纠正并激发上进心。所以及时反馈是高效课堂必须要考虑的一个策略，作为高效课堂教学，尝试、探索、自学成为课堂教学的主旋律，教师作为学生学习的指导者、促进者，完全可以对于学生进行当堂的面批面改，对于课堂教学中学生思维能力是否等到发展，学生的吸收、消化是否高效进行小卷测试，对于学生在课堂中的学习结果给以及时反馈等。

       课后巩固习惯：坚持先复习后做题。复习是巩固和消化学习内容的重要环节，把所学知识认真复习一遍，该记忆的记住了，该理解的理解了，然后再做作业。假如每次作业都能够做到先复习，然后像对待考试一样对待作业的话，那就等于一天几次考试，就不会出现平时作业100分，正式考试不及格的情况了。

       总的来说，高中数学教学应该是知识、能力和情感的教学，在教学中，教师要想提高教学质量就需要与时俱进，认真研究学情，然后有的放矢。

如何利用信息技术优化数学学科重难点教学

       在投资和金融领域中，优化组合是指通过调整资产配置比例来最大化投资组合的收益或降低风险。优化组合的目标是在给定一组可投资资产的情况下，找到最理想的资产配置方式。

       优化组合是一个复杂的数学模型，考虑到投资者的风险承受能力、收益目标和时间限制等因素，以及各个资产的预期回报率、风险和相关性等。通过数学算法和计算工具，可以进行优化组合的分析和计算，得出最优的资产分配方案。

       优化组合可以帮助投资者在不同的投资选择之间做出决策，并根据个人的目标和偏好来构建理想的投资组合。通过优化组合，投资者可以最大程度地实现投资目标，同时有效分散风险和提高回报。

       需要注意的是，优化组合的结果是基于根据历史数据和假设的统计模型计算得出的，并不能保证未来的投资表现。因此，在进行优化组合时，投资者应该密切关注市场情况，并根据自己的投资目标和风险承受能力，适时调整资产配置，进行风险管理和投资优化。

       优化组合的几个主要作用：

       1、最大化收益：优化组合的一个主要目标是最大化投资回报。通过混合不同风险水平和预期收益的资产，优化组合可以找到最佳的资产配置方案，以实现高收益率。

       2、风险管理：优化组合考虑了不同资产之间的相关性和波动性，以降低整体投资组合的风险。通过将不同资产的表现进行组合，并设置适当的权重，可以实现风险的分散和管理，从而降低整体投资组合的波动性和下行风险。

       3、资产分散：优化组合有助于实现资产的分散。通过将资金分配到不同的资产类别（如股票、债券、房地产等）或不同的行业和地域，投资者可以降低特定资产或行业波动对整体投资组合的影响，实现更好的风险分散和投资组合稳定性。

       4、考虑投资限制和约束：优化组合可以考虑投资者的特定需求、目标和约束。例如，根据投资者的时间偏好、流动性需求或特定的投资限制（如最大风险限制或最小收益要求），优化组合可以生成满足这些约束条件的最佳投资组合。

优化组合的意义

       1、风险管理：通过优化组合，投资者可以根据自己的风险承受能力和投资目标来配置资产，从而降低投资组合的整体风险。通过分散投资于不同的资产类别、行业和地理区域，可以减少特定投资的风险，并增加整体组合的稳定性。

       2、收益最大化：通过优化组合，投资者可以通过权衡风险和预期收益来选择最优的投资组合。通过优化投资组合的资产配置和权重，可以最大限度地提高预期收益，实现更好的投资回报。

       3、个性化需求：优化组合可以根据投资者的特定需求进行定制。不同投资者有不同的投资目标和限制条件，例如收益目标、风险承受能力、流动性需求等。通过优化组合，可以根据这些个性化需求来创建符合投资者需求的定制化投资组合。

       在小学数学教学中，恰当运用现代信息技术，以形象具体的“图、文、声、像”来创造教学的人文情景，使抽象的教学内容具体化、清晰化，使学生的思维活跃地参与教学活动，使其重视实践操作，科学地记忆知识，并且有助于学生发挥学习的主动性，积极思考，主动探究，使教师以教为主变成学生以学为主，从而提高教学质量，优化教学过程，增强教学效果。就此问题，浅谈一下本人在实际教学中的几点做法：

       一、运用现代信息技术激发学生学习数学的兴趣

       孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”学习是艰苦的脑力劳动，学生一旦有了兴趣，对事物有了美感，也就变“苦学”为“乐学”了。著名教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”那么怎样才能有效地激发学生的学习兴趣，一直是我们数学教师探索的主题，改变教学态度、改变教学方法等等。现在信息技术在教学的有效运用，给小学数学课堂教学插上了翅膀。

       1、信息技术手段进入课堂，给数学课堂教学注入了一股活力，给学生带来了新鲜感。通过屏幕出现的那一副副生动的画面，吸引了全体学生的注意，那高质量的音响效果唤起了学生学习的欲望和劲头，那变化有序的文字不再使学生感到数学知识的单调和枯燥乏味。在数学课堂教学中运用信息技术，能起到强烈地吸引着学生，激发了学生求知欲，形成了一股学习的动力的效果。例如教学“长方体和正方体的特征” 时，先在屏幕上用动画显示一个长方体的展开和合并不断出现的画面作为主题画面，通过一只小兔骑着摩托车在长方体的棱上绕圈，并加上美妙的音乐，一下吸引了同学的注意力，使同学们产生强烈的好奇心，同学们对于老师要上的数学课充满了渴望，学习热情高涨。

       2、信息技术进入课堂，能充分调动学生的学习的积极性和主动性。促进学生主动学习。实践证明：当学生对信息技术在教学中产生了兴趣以后，他们就会有很高的学习热情。这时，作为课堂的组织者和策划者（教师）就应该为他们创设各种条件，使他们主动参与进来，成为学习的主人。例如在教学五年级下册《分数的意义》时，先让用动画引出现猪八戒和孙悟空分西瓜的故事。故事里由于孙悟空没有把西瓜平均分成四分，师兄弟产生意见，为了搞好团结，共同保护唐僧西天取经，现在需要同学们帮忙解决问题。这时候学生的积极性就被调了起来，迫切地想知道下面的内容。他们就会深入地、兴致勃勃地学习这方面的知识，并且广泛地涉及与之有关的知识，遇到困难时表现出顽强的钻研精神。从而活跃了课堂气氛，达到了教学目的。

       二、运用现代信息技术的教学优化数学课堂教学效果

       在数学课堂上运用信息技术进入课堂，不仅可使一些教师难教、学生难懂的概念、法则、公式在教学中简单化、形象化，也可以方便教师更好地突破知识的重点、难点，把抽象的知识形象地展现给学生，化抽象复杂为形象简单。有利于学生对知识的优化和巩固。

       1、在概念、法则、公式教学中，充分利用信息技术辅助教学，变抽象为具体，让学生感性地掌握知识。老师在课堂上组织学生参与知识的形成过程，让学生进行适当的思考、讨论、操作、答问、质疑、总结。使学生在教师的引导下获得知识，发展思维、提高了能力。例如在教学面积的含义时，把它分为两部分教学，先教学物体表面的面积，然后教学围成的平面图形的面积，最后让学生得出面积的含义。在教学中，通过信息技术演示引导学生得出物体表面的面积、桌面的面积、操场的面积，从而得出物体表面的面积，由什么是正方形的面积、长方形的面积得出围成的平面图形的面积，再概括出面积的含义。

       2、信息技术进入课堂，有助于教师解决重点、难点。如在“体积和体积单位的认识”一课中，教学重点是理解体积的含义，认识体积单位；教学难点是建立1立方厘米、1立方分米、1立方米的正确表象。这些内容都比较抽象，利用信息技术的作用在教学边讲解边演示，电脑出示1立方厘米、1立方分米、1立方米的物体有多大，并与学生操作相结合，变抽象为具体，诱导启发学生，创造良好的思考问题的环境，促进他们动脑筋，使所有学生都去思考问题，同时利用三把米尺组合成一个1立方米的正方体，让一个组的学生走进去，从而感知到1立方米的正方体可以藏12个人。通过生动的演示和实验使学生有所领悟，有所发现，有所创新，突破了本课的重点难点。

       3、利用信息技术的优点在教学中优化练习设计，巩固新知识。新授课中的巩固练习，就是运用知识解决问题。这时不是简单地重复书上学到的东西，这需要教师精心设计教学过程，不断优化练习。信息技术在教学在这方面具有很大的优越性。在“练习”的设计方面更富有弹性，体现练习的阶梯发展趋势，由易到难，体现差异教育：学生开始从模仿型的基本练习——变为提高辨析能力而设置的判断练习——再变为糅合知识而设置的综合练习等等。另外，老师在练习课上从基本问题出发，循序渐进地设计练习内容和增加难度，设计一定的尝试练习题和发展性练习题，使学生知道知识的内在联系及规律，引导学生从多个角度去分析问题解决问题，同时也可以培养学生不依常规去寻求变异，使学生既长知识，又长智慧。运用信息技术进行教学在这方面同样有很大的优越性，不仅数学题型变化多样，而且一题多变，可以让学生通过多层次，多角度的练习，提高了学生解决生活中的问题，学生活中的数学，从而提高学生数学的能力。

       三、运用现代信息技术加大教学密度和提高信息接受量

       自从新课标实施以来，很多老师都有同感，就是我们所使用的教材课容量比老教材多了不少，而课时安排却没有增多，这就要求教师在课堂中提高教学效率。如果使用过去的手段，增加每一节课的信息含量，存在一定的难度。教材内容是有限的，而课堂教学采用信息技术手段后可以在极短的时间内把与有关的内容引入课堂，从而拓宽学生的视野，加大课堂的容量。例如在讲授“第十册《统计图》的教学”一节时，可利用电脑的Excel功能，设计简单折线统计图和复合折线统计图，教会学生如何运用Excel功能。本来两节课才能完成的教学任务，一节课就完成了。学生通过在电脑室上课，动手操作，教师利用信息技术优势对于重点、难点知识部分进行特殊区分显示，比较归纳，得出结论。以往需要两节课时完成的任务，在运用了信息技术教学之后，压缩成了一节课时来完成。运用信息技术进行科学，可以将教材按要求重新组合，增加课堂信息传输量，加大密度，同时又充分调动学生运用多种感觉器官，投入积极的思考，加深学生对知识的理解程度。这样以教师为主导，以学生为主体，以信息技术为中介的整个课堂得到了优化，提高了教学的效果，还能减轻学生盲目地死记硬背的负担。

       在数学课堂教学中，运用信息技术进行教学，有利于促进学生学习兴趣，激活学生思维，有助于培养学生的创新精神。由于课件设计的形象生动，使学生右脑的直觉形象思维得到较充分的训练和提高，可以培养学生的形象思维能力，又由于问题的设计和启发易于多样化和综合化，易于知识之间的渗透和条理化，把左脑的抽象逻辑性与右脑的具体形象性相结合。通过这样，教师就更能充分发挥学生的想象力、思维力，不断培养学生的创新能力，为创新教育的实施和创新型人材培养创造了良好的条件。

       四、运用现代信息技术手段让生活走进课堂

       数学本源于生活，生活中处处有数学。为了让学生学有用的数学，运用现代信息技术，在教学中瞄准与学生生活经验的最佳联结点，并架起桥梁，使数学知识因贴近生活而变得生动有趣，让学生感受生活化的数学，用数学眼光看待周围的生活，增强学生的数学意识，培养学生的数学兴趣和素养，提高学生的实践应用能力。利用现代信息技术手段，设计学生熟悉的、感兴趣的、贴近他们实际的生活素材。例如，教学五年级 “数学活动课”一节时，播放师生游“三星堆博物馆”的情景。参加这次活动的学生有980人，教师38人。门票价格为成人票每张20元，学生票每张8元，30人以上可以购买团体票，团体票每张5元。问：请你设计一种最为省钱的购票方案。同学们展开热烈的讨论，各自提出自己的设计方案。

       创设生活情景，突出主体地位。把教材内容与生活情景有机结合起来，使数学知识成为学生看得见、摸得着、听得到的现实，让数学贴近生活，使学生真正体会到生活中充满了数学。例如，在教学“几和第几”时，让学生模拟人们排队买票的情景，把静止的画面变成生动的场景，在生动有趣的生活中学生加深了对基数与序数的认识，学会了处理生活中的问题。将信息技术融合到小学数学科教学中来，充分运用各种信息资源，让生活走进数学课堂。

       总之，把现代信息技术融入到小学数学教学中去，创设生动形象的生活的情景，激发学生的学习兴趣，提供丰富的信息资源，让学生从繁琐的学习中解脱出来，形成合作交流、主动探索的学习氛围，能有效提高课堂教学效率，优化课堂教学，增强教学效果，促进素质教育的深入实施。

       今天的讨论已经涵盖了“优化方案数学”的各个方面。我希望您能够从中获得所需的信息，并利用这些知识在将来的学习和生活中取得更好的成果。如果您有任何问题或需要进一步的讨论，请随时告诉我。